Si estiramos una banda elástica alrededor de la superficie de una manzana, entonces podemos contraerla hasta un punto mediante un movimiento lento, sin dañarla y sin permitir que abandone la superficie. Por otro lado, si imaginamos que la misma banda elástica ha sido tensada en la dirección apropiada alrededor de una dona, entonces no habría forma de contraerla hasta un punto sin romperla o a la banda o a la dona. Decimos que la superficie de la manzana esta "simplemente conectada", pero que la superficie de la dona, no.
Poincaré, casi cien años atrás, conocía que una esfera bidimensional es esencialmente caracterizada por esta propiedad de simple conectividad, y pregunto lo mismo para esferas de tres dimensiones (un set de puntos en un espacio de cuatro dimensiones a una distancia de unidad del origen).
Esta pregunta resulto ser extraordinariamente difícil, y los matemáticos se han rebelado a esta desde los comienzos.
